量子力學(xué)是以抽象思維為基礎(chǔ)，研究真實物理過程無法直接觀察的微觀客體的物理理論。如何將抽象復(fù)雜的量子理論形象化、可視化是人們探索研究的一個方向。近年來，隨著計算機技術(shù)的高速發(fā)展，計算機三維重構(gòu)技術(shù)日趨成熟，結(jié)合計算物理學(xué)方法和計算機繪圖軟件的強大功能，使得抽象量子理論的可視化分析更加形象逼真1131.氫原子由于其結(jié)構(gòu)簡單，薛定諤方程可以嚴格求解，波函數(shù)可以寫成解析形式，因而不論在量子力學(xué)的研究還是分析原子分子結(jié)構(gòu)，揭示化學(xué)鍵本質(zhì)方面都有著及其重要的作用141.學(xué)者對氫原子波函數(shù)量子力學(xué)解一直做著深入的研究157，但由于理論相對比較抽象，氫原子波函數(shù)的可視化描述也同樣受到人們的關(guān)注。張建華等人曾用Origin6.0軟件繪制了氫原子波函數(shù)圖形1891，陳鍾賢用MC方法對氫原子電子云的模擬也做了簡單的探討110.本文利用Matlab軟件從不同的角度對氫原子各種狀態(tài)下的電子云分布進行了可視化分析，直觀地揭示了氫原子電子云的幾率分布規(guī)律，為量子力學(xué)抽象波函數(shù)的可視化分析提供了思路。

1單電子體系的波函數(shù)單電子體系中電子在原子核勢場中球極坐標下的薛定諤方程為111121：基金項目：西安理工大學(xué)校基金項目（108210309）。

ma（lemigxaut.e（lu.cn施衛(wèi)（1957），男，浙江金華人，教授，博導(dǎo)，研究方向為固態(tài)電子器件的設(shè)計和研制。E設(shè)Xr0，外=R（r）Y（e，句，根據(jù)分離變量法求解可得徑向角分布函數(shù)式（2）以及球諧函數(shù)式（3）：其中歸一化可得：根據(jù)氫原子的定態(tài)薛定諤方程的波函數(shù)解，就可以討論氫原子內(nèi)電子在空間各點的幾率分布情況，但此物理模型非常抽象，不易理解。

下面利用Matlab軟件分別從徑向、角度和空間三個方面對氫原子電子云的分布情況進行可視化分析和討論。

2氫原子電子云的分布將式（4）對e從1，對從-及積分，并注意到Y(jié)/，m（0，朽是歸一化的，便可得到在半徑r到r+dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率是：利用Matlab繪制氫原子各狀態(tài)下徑向波函數(shù)Rn/（r）和徑向幾率分布函數(shù)D（r）=r2R2（r）曲線a'、b'、c、d'和e'分別為對應(yīng)的徑向幾率分布函從可以看出：氫原子在原點處的電子云密度zui大，并隨半徑r的增大作指數(shù)衰減；徑向分布函數(shù)Rn，/（r）有節(jié)點，即在某些r值（r乒0）處，Rn，/（r）=0，且節(jié)點數(shù)與電子狀態(tài)量子數(shù)相關(guān)。例如對R20（r），有1個節(jié)點（見a）對R30（r），有2個節(jié)點（見b）。

/（r）是歸一化的，可以得到電子在（0外方向附近立體角dfi=內(nèi)的幾率為bookmark7從可看出，各種不同狀態(tài)下氫原子的角度電子幾率密度的大小，其中顏色深表示電子幾率密波函數(shù)與其角度幾率分布函數(shù)圖樣形狀基本一致，度大。從空間幾率分布切片圖可以更加直觀地看出氫原子的狀態(tài)不同，其電子云的角度分布方向與形氫原子電子云的分布情況。比如b作出了n=處的切片圖?？梢钥闯鰣D形為兩個濃球冠和三維空間上的電子概率密度分布為：一個稀薄的球帶環(huán)，濃球冠中心在z軸上，球帶環(huán)在Wn，/，m（r，e，二X/m（r，e，2（7）z=0平面上，球冠和球帶環(huán)密度zui大處的半徑相利用Matlab軟件繪制氫原子各狀態(tài)下的空間等。由b'可以清晰地看出電子出現(xiàn)在球帶環(huán)的幾率分布切片圖見。切片圖上顏色的深淺表示概率是比較小的。

3結(jié)果討論通過對不同狀態(tài)下氫原子電子云的徑向、角度和空間分布的可視化分析，使得人們對氫原子電子云的分布規(guī)律有了更加系統(tǒng)直觀地理解。

對于s態(tài)電子，IY，m2為常數(shù)，故電子云與角度9、的大小無關(guān)，其電子云的形狀應(yīng)該是球形的。

但從可知，s態(tài)的電子云不是一個空心球而是一個中心處電子云密度zui大的實心球。如果取高于某個概率密度值的空間為電子云二球體并把這個密度值稱為邊界密度，繪制電子云如a由此可以直觀地看出電子云的分布規(guī)律。對于不同的狀態(tài)，即主量子數(shù)n取不同的值，其電子云密度分布是不相同的。如所示，其分布并不一定是單調(diào)遞減的，而是在減為零后又有可能發(fā)生變化（如圖lb'），此后還形成了兩個峰。若取合適的邊界密度就會在實心電子云球體外出現(xiàn)同心的電子云球殼，但這些球殼的電子云密度要比中心處小得多。盡管這些電子云密度都是在原點處zui大，但是由圖la'、b'可知，電子出現(xiàn)在半徑為r處的概率zui大處不是在原點。因為如果考慮以半徑r為參數(shù)的概率分布，就要考慮半徑為r的球面，雖然越接近原點電子云密度越大，但是球面的面積以r-2減小。

對于p電子，盡管電子概率密度隨角度變化的關(guān)系與a'類似，但電子云的分布形狀并不是傳統(tǒng)認為的紡錘形，因為還要考慮電子的徑向概率分布，總的概率分布是二者的乘積。c作出了n=1，/=l，m=1的p電子云的空間分布在x=，少=0，z=0的切片圖，根據(jù)切片圖上顏色的深淺可直觀地看出其電子概率密度的大小分布。

量子力學(xué)中以電子在各處出現(xiàn)的概率來描述電子的狀態(tài)，摒棄了軌道的概念。但從氫原子電子云的可視化分析中還可以清晰地看到軌道的痕跡，與軌道理論不同的是這里的軌道比較寬，不是軌道理論上的線性，且比電子本身線度要寬得多。

通過對氫原子電子云的可視化分析，可以形象地認識微觀粒子的運動形態(tài)和量子理論抽象的波函數(shù)概率波解釋；同時為分析其他原子乃至分子的結(jié)構(gòu)和組成原理，解決實際問題，提供了一種可行的研究思路和方法。北京富瑞恒創(chuàng)科技有限公司。

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