極限概念在圓周率計算中的應(yīng)用

圓周率(表示為希臘字母π)是一個存在于自然界之中的無理數(shù)，是圓周的長度與圓的直徑之間的比例常數(shù)，人們很早就開始了認(rèn)識圓周率的過程。 公元前3世紀(jì)古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Archimedes通過正多邊形內(nèi)接于圓，將其邊數(shù)逐漸地增加來計算圓周的方法求得了圓周率的近似值約為3.14163。巴比倫、印度、中國等長期使用3這個粗略而簡單實用的數(shù)值，東漢時期官方還明文規(guī)定圓周率取...更多

圓周率π是數(shù)學(xué)常數(shù)，它是圓的周長和直徑的比，在社會生產(chǎn)與實踐中應(yīng)用是非常廣泛的，圓周率的演算精度在某種意義上反映國家的數(shù)學(xué)水平。

實際上3.1416一般情況下己夠用了，這樣的計算并沒有什么實際上的需要。但究竟是什么原因推動了這種對π的計算狂熱呢?

圓周率計算的原因：

1、計算圓周率有各種計算方法，采用同一臺計算機，可以比較哪種方法能用較少的工作量算出更高精度的π值。

2、采用同一種計算圓周率的方法，對不同的計算機的能力也是一個比較和考驗。

3、希望算出圓周率在小數(shù)點后更多的數(shù)值來觀察和研究π的性質(zhì)。如圓周率π是有理數(shù)，則是一個有限小數(shù)，或無限循環(huán)小數(shù);如圓周率π是無理數(shù)，就是無限不循環(huán)小數(shù)。大量的計算可看出些端倪，給進(jìn)一步的嚴(yán)格證明提供啟示。

當(dāng)然也有希望創(chuàng)記錄、一舉成名的心理因素。以往也常有死背π很多位值的事，以鍛煉記憶力。其實這對于圓周率π的研究，己無多大意義。

圓周率的性質(zhì)：

1767年，蘭伯特(H.Lambert)證明了圓周率π是無理數(shù)。

1775年，歐拉又提出問題：圓周率π會不會是一個整系數(shù)代數(shù)方程的根，即是一個代數(shù)數(shù)呢?如果不是代數(shù)數(shù)，就稱為超越數(shù)。

1882年，林德曼(F.vonLindermann)在歐拉提出問題的107年后，證明了圓周率π是一個超越數(shù)。

從人類對圓周率π的認(rèn)識不斷深化的歷史，可以看出科學(xué)是充滿活力并不斷開拓前進(jìn)的!

圓周率演算值的初級階段發(fā)生在公元前950年前后，是通過實驗為依據(jù)，是根據(jù)對圓的周長與直徑的測量演算得來。在古代人們把等于3長期應(yīng)用，如基督教《圣經(jīng)》中取為3，在印度、巴比倫等也長期使用=3這個簡約數(shù)值。

在《周髀算經(jīng)》中對圓周率有過“圓周三徑一”這樣的描述，意思是圓的直徑是1，周長大概為3，這說明了人類早期對圓周率的估算，在東漢時期官方公布古率明確規(guī)定圓周率等于3，并以此來計算圓的面積。

人類的早期還應(yīng)用其它不精確的方法來推算圓周率。

古希臘與古埃及人曾經(jīng)用谷粒擺在圓周之上，以粒數(shù)與方形對比的辦法獲得圓周率，還用質(zhì)地均勻木板鋸得圓形和方形以其重量的比獲得值等于獲得圓周率的許多值，如古埃及人將圓周率=3.1605使用近四千年，公元前6世紀(jì)印度人曾取3.162。

在我國西漢之初王莽命令劉歆造量的容器“律嘉量斛”，在造容器的過程中劉歆就用到圓周率值，為此他通過做實驗，獲得一些關(guān)于圓周率的一組近似值，分別為3.1547、3.1992、3.1498、3.2031，這已比徑一周三的古率大大進(jìn)步了，這種人類經(jīng)粗糙計算得出圓周率的數(shù)據(jù)，主要用于計算園田面積，由于圓周率數(shù)值不夠精確在當(dāng)時沒有產(chǎn)生較大影響，但用這些圓周率值來制造器皿等誤差就明顯太大了。

通過簡易測量的方法演算出的圓周率是很粗略的，阿基米德科學(xué)地研究了圓周率，使圓周率的演算發(fā)展到中級階段，他對圓周率的演算建立了數(shù)學(xué)的方法而非通過測量的手段，將圓周率精確到任意精度，從此使圓周率的演算建立在數(shù)學(xué)科學(xué)為基礎(chǔ)。

圓周長界于其外切正四邊形與內(nèi)接正四邊形之間，所以4 圓周率，顯然這是不精確的，阿基米德將正多邊形的邊數(shù)增加，曾使用了正96邊形來演算圓周率，從而使阿基米德所求圓周率的精度越來越高，在他的著作《圓的測定》一書中首次創(chuàng)造性地利用下界與上界來更精確地確定圓周率，利用幾何法對圓周長和其直徑的比界于與之間進(jìn)行證明，并得出誤差的估計圓周率，此種數(shù)學(xué)演算方法從理論上講重要的是所求得的圓周率值更加精確。

阿波羅尼奧斯經(jīng)長時間的演算得到的圓周率為3.1416，在公元前150年前后由希臘天文學(xué)家托勒密獲取的圓周率為3.1417，并取得近似值為377與120之比，這些都是自從自阿基米德以后所取得的偉大成就。

我國首先最早在公元263年左右由數(shù)學(xué)家劉徽得到比較準(zhǔn)確的圓周率。劉徽采用當(dāng)時先進(jìn)的割圓術(shù)得到等于3.14，并提出它是不足近似值，他研究割圓術(shù)的時代雖比阿基米德稍晚點，但他與阿基米德相比從方法上更有獨到地方，只用圓的內(nèi)接正n邊形可以給出的上界與下界，此做法比阿基米德利用外切與內(nèi)接正n邊形來確定圓周率要簡便了許多。

此外劉徽通過對割圓術(shù)的研究過程中給出了一種奇妙的計算方法，他把分割成的192邊形的若干個粗略的近似值使用簡單的加權(quán)平均的方法，得到圓周率值的4位有效數(shù)字3.1416，對這一結(jié)論劉徽曾說過，若使用割圓的方法來計算得到這個數(shù)值，就要割至3072邊形，此種相對精確的計算方法的效果是神奇的，這種奇特的計算方法是割圓術(shù)中最精彩的，可惜的是由于當(dāng)時人們沒能對它有正確理解而未被重視。

我們都知道祖沖之對圓周率所做出巨大貢獻(xiàn)，他對圓周率的演算有巨大成就，求得圓周率介于3.1415926和3.1415927之間，其精確度進(jìn)一步提高，并且求得的兩個替代分?jǐn)?shù)，它們分別是約率22/7和密率355/113，他演算出的圓周率有八位，此成果是當(dāng)時最精確的，在世界上保持了近千年記錄，并且在1912年日本數(shù)學(xué)家三上義夫為紀(jì)念祖沖之的研究成果提出將等于355/113叫做祖率。

為什么祖沖之能夠獲得這個巨大成果?是建立在劉徽割圓術(shù)方法基礎(chǔ)之上的并對它進(jìn)行有效的發(fā)展與傳承，所以對祖沖之的成就大加贊譽時，要清楚他是站在數(shù)學(xué)大師劉徽的有力的臂膀之上的原因，若要只利用演算圓的內(nèi)接多邊形邊長這種方法想獲得這個精確結(jié)論，后人做過推算，它需要演算至少圓內(nèi)接正12288邊形才可以獲得這一精確度值。

祖沖之創(chuàng)造出的成就在世界上享有盛譽，比如我國已發(fā)行紀(jì)念他的郵票，人們于1964年11月9日在紫金山天文臺觀測到的小行星取名為祖沖之星，蘇聯(lián)人于1959年觀測到的月球環(huán)形山脈取名祖沖之山，法國在發(fā)現(xiàn)宮的科學(xué)博物館內(nèi)墻壁之上撰文專門表述祖沖之的偉大功績，在蘇聯(lián)莫斯科大學(xué)的走廊里矗立著祖沖之的大理石雕塑。

祖沖之表示圓周率選擇用兩個簡單的分?jǐn)?shù)，一般情況下不會引起人們的注意，但是這點在數(shù)學(xué)上具有極其有重要的意義，與密率(只用到了1、3、5這三個數(shù)字)的近似度很接進(jìn)，它在形式上卻十分簡并很優(yōu)美，有數(shù)學(xué)家專門做了驗證后得出：在所有分?jǐn)?shù)中當(dāng)分母不大于16603時沒有發(fā)現(xiàn)其它分?jǐn)?shù)比密率更趨近于，西方人取得這個成果是在祖沖之之后的一千多年，可以坦率的講祖沖之獲得密率是一件非常了不起的事情。

我們再來研究一下國外對圓周率所作出的貢獻(xiàn)：

印度阿耶哈達(dá)在公元450年左右獲得圓周率=3.1416;

中亞與西亞地區(qū)在1424年前后由數(shù)學(xué)家卡西經(jīng)過演算805306368個內(nèi)接與外切正多邊形的周長，最終得到圓周率=3.14159265358979325，這個圓周率有十個有效數(shù)字從而首次突破由祖沖之所創(chuàng)造的記錄;

法國在16世紀(jì)由數(shù)學(xué)家韋達(dá)運用阿基米德的演算方法，采用216×6個正邊形計算得到有9位有效數(shù)字的圓周率，他仍沿襲了阿基米德的研究方式，由于他采用了十進(jìn)位制數(shù)，從而使韋達(dá)有了先進(jìn)的工具，也獲得了更高精度的圓周率;

德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蛟?7世紀(jì)用一生的時間來研究圓周率，他采用十進(jìn)制數(shù)并與阿基米德的研究方法相結(jié)合，他開始時未從正六邊形入手并把它的邊數(shù)增倍，而是從正四邊形入手一直推出262條邊的正多邊形，最多達(dá)到大概4610000000000000000邊形，經(jīng)計算得出圓周率中有36個有效數(shù)字，在德國為緬懷他作出的這一偉大成就固把命名為“魯?shù)婪驍?shù)”。

前面講了運用幾何法求圓周率，它的計算繁雜，會窮盡數(shù)學(xué)家一生的心血，魯?shù)婪虻挠嬎阋呀?jīng)到了巔峰，古典方法再不能向前推進(jìn)了，在17世紀(jì)數(shù)學(xué)分析的發(fā)現(xiàn)促使的演算過程也進(jìn)入全新的歷程。

利用分析法求圓周率的時期是通過無窮級數(shù)來計算，它已經(jīng)突破求多邊形周長的繁雜演算過程，此時對已給出精確表示與充分的理性認(rèn)識。

1579年數(shù)學(xué)家韋達(dá)得出的最早分析表達(dá)式，公式中僅出現(xiàn)數(shù)字2，使用乘、除、開平方與加法等系列的運算就得出圓周率;

創(chuàng)建微積分的數(shù)學(xué)家牛頓提出分析表達(dá)式，牛頓運用這個公式大大簡化了圓周率的計算過程;

數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·夏普于1699年運用詹姆斯的結(jié)論算出圓周率有72位有效數(shù)字;

數(shù)學(xué)家梅欽于1706年提出的表達(dá)式，他運用級數(shù)展開的方法計算圓周率到小數(shù)點后100位，為紀(jì)念他的成果，表達(dá)式以他的名字來命名;

法國代·拉尼于1719年把圓周率精確到小數(shù)點后第112位;

德國蘭伯特于1767年經(jīng)過證明提出圓周率是無理常數(shù);

法國勒讓德于1794年再經(jīng)過證明得出也是無理數(shù);

達(dá)塞于1844年運用公式對圓周率取得第200位小數(shù)的成就;

在1853年德國盧瑟福竟然把圓周率精確至小數(shù)點后的400位;

在1882年由德國林德曼提出并得到證明為超越數(shù)，它不是整系數(shù)代數(shù)方程的解，從此解決了困擾人們近二千年的數(shù)學(xué)難題即不可化圓為方，從而極大的突破了對認(rèn)識;

在1873年由美國菲格森把圓周率精確至小數(shù)點后的710位;

佛格森與小倫奇于1947年共同研究并得到圓周率的小數(shù)點后的808位，創(chuàng)造了用人工計算圓周率的世界最高記錄。

求圓周率不同的類似公式在19世紀(jì)后出現(xiàn)很多，精確度也越來越高：

謝克斯在1873年運用梅欽的級數(shù)公式把計算至小數(shù)點后707位，他用了20年時間才獲得這項世界紀(jì)錄，為歌頌他頑強精神與堅韌毅力，人們在他去世后把凝聚他一生心血圓周率刻在他的墓碑之上，他獲得的這個舉世的成就成為以后74年內(nèi)為人們深信不疑的最高記錄。

數(shù)學(xué)家弗格森在若干年后對謝克斯的計算有疑慮，他大膽地進(jìn)行了猜想，圓周率中雖然數(shù)字的排列確實不存在規(guī)則，但各個數(shù)字出現(xiàn)的幾率似乎相近，于是他對謝克斯的圓周率做了統(tǒng)計后提出數(shù)字的出現(xiàn)并不均等，于是使他產(chǎn)生了懷疑。

從1944年至1945年的一年時間內(nèi)他采用了當(dāng)時最優(yōu)秀的計算手段進(jìn)行計算，找到從第528位開始是錯誤的，之后的一百多位數(shù)字全部有問題，謝克斯的大半成果就這樣被無情地一筆抹去了，但謝克斯作為毅力堅強的計算者自愿獻(xiàn)出大半生精力從事圓周率的計算工作而無報酬，這種在數(shù)學(xué)上的不懈追求精神是值得我們學(xué)習(xí)的。

世界上首臺計算機ENIAC于1946年問世，隨著電腦時代的開啟出現(xiàn)了計算方面的根本革命，1949年在計算機上根據(jù)梅欽的計算公式將圓周率計算至小數(shù)點后2035位，計算時間僅為70小時，由于計算機的發(fā)展速度非常快，導(dǎo)致圓周率的計算記錄被一次次打破。

印度數(shù)學(xué)家拉馬努金在19世紀(jì)初提出一個高效的計算圓周率的數(shù)學(xué)公式，由于公式中出現(xiàn)四次方導(dǎo)致它高速趨近于的真實值，每一步計算都可以增長8位有效數(shù)字，1985年人們使用這個公式對圓周率進(jìn)行計算后得到小數(shù)點后一千七百萬位數(shù)字;

法國裘努埃于1959年運用IBM704將圓周率計算至小數(shù)點后16167位;

美國香克斯與倫奇于1961年運用IBM7097將圓周率計算至小數(shù)點后100265位;

法國吉勞在1966年運用STRETCH將圓周率計算至小數(shù)點后250000位;

法國吉勞在1967年運用CDC6600把圓周率計算至小數(shù)點后500000位;

法國吉勞在1973年把圓周率計算至100萬位小數(shù)，并把此成果編成世界上最枯燥的二百頁的書;

日本鹿角理三吉與久仲山于1981年運用FACOMM-200利用公式把圓周率計算到小數(shù)點后2000038位;

美國貝利在1986年利用Cray-2只耗費28小時就將圓周率計算到小數(shù)點后29360000位;

日本廉正蒲田在1986年使用NECSX-2把圓周率計算至小數(shù)點后134217700位，并在1989年對圓周率的計算攻破10億位;

日本在1994年運用數(shù)學(xué)公將圓周率精確至小數(shù)點后40億位，并在1995年已突破64億位。

在20世紀(jì)90年代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出的“水龍頭”計算法，對圓周率在原有數(shù)字的基礎(chǔ)之上運用遞推方式可以計算出后繼的數(shù)字，電腦專家們還創(chuàng)造出十分有意義、有效的公式，運用此公式得到了特殊的結(jié)果，即在十六進(jìn)制數(shù)中第位數(shù)字可獨立計算出來，而無需得出位之前的數(shù)字，比如不必計算出的100萬位之前的數(shù)字，就可知道第100萬位的數(shù)字。

日本東京大學(xué)教授金田康于1999年對圓周率已獲得小數(shù)點后2061.5843億位，據(jù)最新消息講他正使用超級計算機算得圓周率的小數(shù)點后一兆二千四百一十一億位，改寫了兩年前由他創(chuàng)造的紀(jì)錄，現(xiàn)在雖然打破記錄，但不管推進(jìn)至多少位也不至令人感到驚喜。

事實上將圓周率算得如此精確其應(yīng)用的作用已不大，在科技方面所運用圓周率有十多位就已足夠了，若運用魯?shù)婪虻贸龅膬H36位有效數(shù)字的圓周率來演算能將太陽系包括在內(nèi)圓的周長，其誤差不足于質(zhì)子直徑的1/1000000。