關(guān)于圓周率的一些常識

對于圓周率π，從小學(xué)階段開始，我們就經(jīng)常碰到它。對于這樣一個十分熟悉的符號，你對它了解多少呢?所謂圓周率，就是一個圓的周長與其直徑的比值。對于任意的圓，不論它的直徑有多大，其周長與直徑的比值都是相同的，數(shù)學(xué)家們把這個比值叫做“圓周率”。首次用π表示圓周率的人 只用一個字母表示圓周率的第一個人是德國巴伐利亞的奧爾夫大學(xué)數(shù)學(xué)教授斯圖姆(1635～1703)，但他使用的字母不是...更多

圓周率是圓的周長與其直徑的比。通常用π來表示。是一個常數(shù)(約等于3.141592654)，是代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。

在古代，圓周率的命名并不統(tǒng)一，除“古率”外，有的以數(shù)學(xué)家的名字命名如“衡率”、“徽率”、“祖率”等，有的以圓周率近似值的特點命名如“朒數(shù)”、“盈數(shù)”等。

古率：

古代，人們在生產(chǎn)實踐中有了對圓周率粗糙的認(rèn)識，并且估計出圓周是其直徑的三倍，從此人類最早使用的粗糙圓周率是3，這個值被后人稱為“古率”?！?”最早起源于何時，已經(jīng)無法得知，但在中國，木工師傅有句從古流傳下來的口訣“周三徑一，方五斜七”。這個口訣的意思是直徑為1的圓，周長大約是3;邊長為5的正方形，對角線之長大約是7。在中國最早的古算書《周髀算經(jīng)》中已經(jīng)出現(xiàn)了圓周率的記載。

圓周率最早起源于圓的測量法，也就是“徑一周三”，這在《周髀算經(jīng)》中以周公與商高的問答形式記載，即認(rèn)為圓周率為3。魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽于263年注《九章算術(shù)》，把圓周率稱為“周三徑一之率”，這是古率的又一名稱，它在一些文獻(xiàn)中被稱做“徑一周三之率”。由此可見，古率3在中國古代劉徽之前已廣為流傳。

歆率：

西漢末年，王莽命劉歆(約公元前50-公元23年)制定度量新標(biāo)準(zhǔn)，劉歆于公元1-5年制造了一種銅斛，名為“律嘉量斛”。在實際應(yīng)用中得到圓周率近似值為3.1547或3.1790247，這兩個值都被稱為“歆率”?！端鍟ぢ蓺v志》明確指出劉歆是在周一徑三之后創(chuàng)設(shè)圓周率新率的第一人，在中國數(shù)學(xué)史上占有重要地位。

衡率：

張衡(公元78-139年)是我國后漢時期偉大的科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)以及物理學(xué)等方面都有偉大的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)方面為人們知道的主要是他對圓周率的研究。

根據(jù)他的“方八之面，圓五之面”而算出“圓周率一十之面，而徑率一之面”，即認(rèn)為周：徑=√10。這個率是很粗疏的，據(jù)此人們認(rèn)為張衡的圓周率為92/29，其值為3.1724。也有人說他在中國第一本天文學(xué)的理論著作《靈憲》一書中取圓周率為730/332=3.14551…≈3.1466。后人將這三個值√10，92/29，730/332都稱為“衡率”。

徽率：

劉徽于魏景元四年(公元263年)注《九章算術(shù)》，他獨創(chuàng)了“割圓術(shù)”(又稱“徽術(shù)”)，創(chuàng)造了運用極限思想來計算圓周率的正確方法。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，并取半徑為1，一直算到192邊形，將圓周率值計算到了小數(shù)點后兩位約為3.14，化成分?jǐn)?shù)為157/50，這是中國歷史上第一次將圓周率精確到小數(shù)點后兩位，后人稱之為“徽率”。

劉徽采用的極限方法是當(dāng)時最先進(jìn)的方法，比古希臘科學(xué)家阿基米德同時用圓內(nèi)接、外切兩種多邊形計算要簡便得多。

祖率：

在劉徽之后重新推算出圓周率而貢獻(xiàn)最大的是南朝祖沖之(公元429-500年)。他的主要著作《綴術(shù)》已失傳，因而無法直接了解他的工作，但是從一些資料中還是可以看到有關(guān)于祖沖之的記載。

比如唐代著名數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)在《隋書·律歷志》中有記載，“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率圓徑一百一十三，圓周三百五十五;約率，圓徑七，周二十二。又設(shè)開差冪，開差立，兼以正圓(負(fù))參之指要精密，算式之最者也，所著之書，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理”。

據(jù)此，可知祖沖之得到的著名結(jié)果為3.1415926 圓周率 3.1415927，密率355/113，約率22/7。他將圓周率的值精確到了小數(shù)點后第七位，領(lǐng)先了外國一千年，后人將3.1415926稱為“朒數(shù)”，3.1415927稱為“盈數(shù)”，將圓周率準(zhǔn)確值稱為“正數(shù)”(這里“朒”指不足，“盈”指過剩)。祖沖之給出的兩個圓周率的分?jǐn)?shù)值，約率22/7也被稱為“疏率”，為紀(jì)念祖沖之對中國圓周率發(fā)展的重大貢獻(xiàn)，日本數(shù)學(xué)家三上義父曾建議把355/113稱為“祖率”。

繼祖沖之之后，中國圓周率的研究開始走向衰落，無論在數(shù)值和圓周率符號上都沒有突出成就。以上研究可知中國歷史上沒有創(chuàng)立圓周率符號，圓周率符號π來自國外。在圓周率的命名上，中國古代始終沒有統(tǒng)一，直到近現(xiàn)代才統(tǒng)一使用圓周率。

英國數(shù)學(xué)家瓊斯在1706年首先使用符號π表示圓周率，并且在歐拉的倡導(dǎo)下π才成為國際通用圓周率符號。

從古希臘時候起，首先也只是對圓周率有粗糙的認(rèn)識，認(rèn)為它的值為3，接著較早記載研究圓周率的人是阿基米德(公元前287-公元前212年)，他用幾何法證明了“圓周長與直徑之比小于22/7，而大于3又10/71”。

阿基米德在《圓的度量》中利用圓內(nèi)接和圓外切正多邊形的周長確定圓周長有上下界，從正六邊形開始逐次加倍到正96邊形，阿基米德就把22/7當(dāng)作圓周率的近似值，實際上是圓的正96邊形與直徑的比。為紀(jì)念他的這一偉大貢獻(xiàn)，后人將22/7叫做“阿基米德數(shù)”或“阿氏率”。

公元150年左右，希臘天文家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密在制作弦表時，得到的圓周率值為3.1416。中國橋梁學(xué)家茅以升在《中國圓周率略史》一文中，將它稱為“托勒密之值”。

長期生活在荷蘭萊頓(當(dāng)時屬德國)的數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颉し丁の饔壬?，一生都在計算圓周率的值，最終于1596年求出圓周率近似值到小數(shù)點后十五位數(shù)字，然后他又算到三十五位數(shù)字，在1610年他死后人們將三十五位圓周率值刻在他的墓碑上。后人為了紀(jì)念他，便把圓周率的近似值叫做“魯?shù)婪驍?shù)”。

考慮到π和δ分別是希臘文圓周(περιψερια)和直徑(διαμετρου)的第一個字母，所以英國數(shù)學(xué)家奧特雷德在1600年用π作周長、用δ作直徑的符號，他還在1647年出版的《數(shù)學(xué)指南》一書中，用π/δ表示圓周長和直徑的比。這個π/δ是有史以來第一個圓周率符號，這個圓周率符號成為其后人們用π表示圓周率的先導(dǎo)。

雖然當(dāng)時π在π/δ中表示的是圓的周長，δ在π/δ中表示的是圓的直徑，但是π和δ并不是分開定義的，而是以π/δ的形式一起出現(xiàn)。接著英國劍橋大學(xué)教授艾薩克·巴羅和蘇格蘭數(shù)學(xué)家達(dá)維德·格雷戈里，都用π表示過圓的周長，從而使π成為一個單獨的圓周率符號，但此時還沒有用π來表示圓周率。

首先用一個字母來表示圓周率的是德國數(shù)學(xué)家約翰·克里斯托弗·斯圖姆，他在1689年用e來表示圓周率，不過e在后來卻用于表示自然對數(shù)的底。在求圓周率的值的過程中，人們常用直徑為1的圓，就是用δ=1，這樣就變成了π。英國數(shù)學(xué)家、作家威廉·瓊斯，首先在1706年出版于倫敦的《新數(shù)學(xué)引論》一書的第243，263頁上，使用π來表示圓周長和直徑之比——圓周率。

歐拉逐漸接受了π，他在1748年出版的《無窮小分析引論》中明確了用π來表示圓周率，因為歐拉在數(shù)學(xué)界的名望，并在他的極力倡導(dǎo)之下，到了1794年，法國數(shù)學(xué)家勒讓德在巴黎出版《初等幾何》一書時，歐洲數(shù)學(xué)家?guī)缀醵奸_始使用π表示圓周率了，其后便得到廣泛流傳和使用。

如今使用的圓周率符號基本上都是外國創(chuàng)立的，在中國歷史上也創(chuàng)立過一些圓周率符號，其中算術(shù)符號的發(fā)明也比較早，但是終究因為它的復(fù)雜性，沒有在全世界流傳。最大的原因在于中國漢字表意抽象不易理解，外國圓周率符號的創(chuàng)立得益于他們的文化，他們使用的文字是字母拼音，與中國的象形文字不同，西方圓周率符號多采用單個字母或單詞拼音文字的縮寫，非常有利于圓周率符號的創(chuàng)立。

西方數(shù)學(xué)符號書寫非常簡便、精確，可以深刻地表達(dá)某種概念，避免了使用日常語言，并且它具有生命力，因此很快被推廣和使用。當(dāng)圓周率符號確立并推廣以后，圓的面積公式體積公式就有了更簡潔的表達(dá)方式。而且隨著其他一些符號的創(chuàng)立，國外開始進(jìn)入用“分析法”計算圓周率的時期，用無窮級數(shù)或無窮乘積計算π，使得計算π的位數(shù)迅速增長。