祖沖之和圓周率

說起圓周率，你們一定會(huì)想到南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之。但你們也許會(huì)問，提到祖沖之，說說他的數(shù)學(xué)家身份也就罷了，還提起天文學(xué)家這個(gè)頭銜干啥?你們這樣問就對(duì)了，因?yàn)樽鏇_之研究圓周率與此緊密相關(guān)——他正是為了研究天文才深入計(jì)算圓周率的。圓周率與天文學(xué) 天文學(xué)真的很重要。在漫長(zhǎng)的古代，從有文字記載開始就一直在研究天文，其中最重要的一件事情是制訂歷法和確定四季的變化，就...更多

圓周率π表示圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，自有文字記載開始，它就成為了經(jīng)久不衰的話題。園周率是客觀的存在，是一個(gè)無窮小數(shù)，不能說是誰的發(fā)明，只能說誰計(jì)算得更早更準(zhǔn)確。

張衡(79-139)是我國(guó)后漢時(shí)期的一位偉大的科學(xué)家，在數(shù)學(xué)方面，大家熟知的主要在于他對(duì)圓周率的研究。張衡之前，在提出古率“周三徑一”的說法后，古人先后做了多次修改，但只是靠實(shí)測(cè)來修正古率，從來沒有從理論上修正圓周率的值。

張衡從“為術(shù)者”那里繼承丸柱誤率，認(rèn)為立方/丸=(π/4)2，并把其中的經(jīng)驗(yàn)值9/16改為10/16，從而求得π=√10，在理論上求得圓周率?？梢哉f只有張衡才是第一個(gè)在理論上(對(duì)立圓術(shù)公式的解釋及其中數(shù)據(jù)的分析)求出圓周率值的人。

關(guān)于張衡對(duì)圓周率所做工作，在他之后的劉徽做過相關(guān)介紹，由劉徽的介紹，我們可以了解到張衡做了下列工作：

首先，一丸的“外(切)立方(體)”與“中立方(即內(nèi)接立方體)”之比為√675：√25，并取其近似值為26∶5(近似)。

其次，一立方體的外接與內(nèi)切球之比也為√675：√25。

第三，“衡又言，質(zhì)六十四之面，渾二十五之面，質(zhì)復(fù)言渾，謂居質(zhì)八分之五也?！边@是說，立方體：內(nèi)接球(質(zhì)：渾)=8∶5(這是錯(cuò)誤的)。

第四：“(張衡)又云，方八之面，圓五之面”。這是說，正方形：內(nèi)接圓=√8：√5(這也是錯(cuò)誤的)。

第五：根據(jù)“方八之面，圓五之面”而算出“圓周率一十之面，而徑率一之面”。即張衡圓周率，周：徑=√10，這個(gè)率是很粗疏的，后人劉徽批評(píng)說：“衡亦以周三徑一之率為非，是故更著此法，然增周太多，過其實(shí)矣”。

根據(jù)劉徽對(duì)張衡工作的介紹與評(píng)價(jià)，我們不難看出，張衡除了出發(fā)點(diǎn)丸柱率有誤外，他的整個(gè)推導(dǎo)過程都是正確與精彩的。張衡對(duì)圓周率的研究，即便是在證明過程中存在錯(cuò)誤，但他的思路和方法在當(dāng)時(shí)也是先進(jìn)的，在一定意義上開辟了一個(gè)新方向，為后人在圓周率方面的研究提供了依據(jù)和重要思路。

劉徽(225-295)是我國(guó)魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家，他把機(jī)械方法和極限思想應(yīng)用于近似計(jì)算，在中國(guó)第一次提出求圓周率近似值的科學(xué)方法，創(chuàng)立了以幾何學(xué)求圓周率的方法，開創(chuàng)了中國(guó)數(shù)學(xué)之新紀(jì)元。

劉徽曾為《九章算術(shù)》作注，“割圓術(shù)”是他為《九章算術(shù)》中的《方田章》里的“圓田術(shù)”一文寫的注疏。在這篇注疏中，劉徽提出了一個(gè)計(jì)算圓周率的算法。劉徽從圓內(nèi)接正6邊行開始割圓(如上圖)他說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！?/p>

就是說，如此繼續(xù)下去，對(duì)于這個(gè)正6×2n(n=0,1,2,3,…)邊形序列，設(shè)Sn是6×2n邊行的面積，Ln是每邊長(zhǎng)，割得越細(xì)，即n越大，S-Sn就越小(S為圓的面積)。割至不可割時(shí)，則圓內(nèi)接正多邊形便與圓周合為一體。

這就證明了

此時(shí)

當(dāng)劉徽割圓至正192邊形時(shí)，得到

求出π=157/50。為了得到更精密的圓周數(shù)值，同時(shí)又不希望繼續(xù)用繁復(fù)的機(jī)械割圓術(shù)，劉徽考察了正多邊形面積增加的情況，發(fā)現(xiàn)：多邊形面積的增加值大致有以1/4為比例遞減的趨勢(shì)，即有

于是只要假定這種比例關(guān)系具有普遍性，則可以“以率消息”之簡(jiǎn)便方法求得正多邊形面積。劉徽當(dāng)然不會(huì)求無窮數(shù)

但在他計(jì)算了4項(xiàng)之后，得到

又

即有

考慮到圓的面積比正多邊形的面積略大，故取36/625≈35/625。而所計(jì)算的4項(xiàng)很有可能是劉徽發(fā)現(xiàn)此級(jí)數(shù)之后的諸項(xiàng)增加值甚小。如此得到此正多邊形面積314又99/625，正對(duì)應(yīng)著正3 072邊行的面積。之后，劉徽將得到的圓冪S=314又4/25(平方寸)代入《九章算術(shù)》的圓面積公式(半周半徑相乘得積步)，反求出圓周長(zhǎng)為6尺2寸8.32分，與已知的圓直徑2尺相約，得到π=3927/1250。

劉徽在求圓周率數(shù)值的過程，可以說是數(shù)學(xué)原理加上非理性因素雙重作用的結(jié)果。但對(duì)后來祖沖之對(duì)圓周率的研究做了進(jìn)一步的鋪墊和引導(dǎo)。

祖沖之(429-500年)，我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機(jī)械制造家。他在圓周率上的貢獻(xiàn)是：利用算籌進(jìn)行開方運(yùn)算，將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位。

祖沖之曾經(jīng)寫過一本著作《綴術(shù)》，記錄了他對(duì)圓周率的研究過程和成果，但當(dāng)時(shí)由于不受官學(xué)重視，后來失傳。因此，在2008年出版的《科技導(dǎo)報(bào)》上，將“祖沖之究竟是怎樣計(jì)算出圓周率 值的?”列為公眾關(guān)注的未解科學(xué)難題之一，下面討論的也僅為各位數(shù)學(xué)家關(guān)于祖率的合理猜想。

根據(jù)推測(cè)，在前人劉徽工作的基礎(chǔ)上，祖沖之意識(shí)到可以通過增加割圓次數(shù)，提高圓周率的精度。但是π的精度不會(huì)超過邊長(zhǎng)的有效數(shù)字，而有效數(shù)字隨著邊長(zhǎng)的不斷增加而減小，或許這就是劉徽計(jì)算圓周率精度受到的理論限制。

雖然史書上沒有他推算圓周率的過程，但根據(jù)《隋書·律歷志》：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽;肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，周二十二?！蔽覀兛梢缘弥鹤鏇_之求得3.1415926 π 3.1415927，密率：π=355/113(3.1415929)，約率：π=22/7(3.142)。

據(jù)推測(cè)，祖沖之仍是按照劉徽的割圓術(shù)來進(jìn)行推算的。他采用和劉徽相仿的方法，計(jì)算出S12288=3.14 159251方丈，S24576=3.14159261方丈。代入劉徽不等式S2n S S2n+(S2n-Sn)，即得3.1415926 π 3.1415927。

要得到這一精確度的結(jié)果，需要對(duì)9位數(shù)字的數(shù)進(jìn)行130次以上的各種運(yùn)算。在祖沖之時(shí)代，由于還沒有應(yīng)用小數(shù)，因而在實(shí)際計(jì)算中常用分?jǐn)?shù)來表示圓周率，這在工作量上無疑是一個(gè)大工程。因此，用密率355/113表示π的近似值，是一項(xiàng)偉大的貢獻(xiàn)。為此，傳到日本后，日本數(shù)學(xué)史家三上一夫1913年建議將祖沖之圓周率的密率數(shù)值命名為“祖率”，得到大家的一直贊同。

祖沖之關(guān)于圓周率的探索，超過了世界水平1 000多年，在張景中《數(shù)學(xué)家的眼光》一書中指出：祖率與 的精確值誤差不超過0.000 000 267，這無疑是祖率的精妙和偉大之處。

近代以來，隨著中西方的頻繁交流，關(guān)于圓周率的計(jì)算方法和思想得到進(jìn)一步的融合和發(fā)展。經(jīng)過幾千年的歷史，關(guān)于圓周率的計(jì)算仍未停止，尤其是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得計(jì)算圓周率的腳步不斷加快，90年代初，新的計(jì)算方法已經(jīng)計(jì)算到圓周率的值達(dá)到4.8億位。

為了紀(jì)念我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)圓周率的研究，國(guó)際數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)于2011年正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，即“國(guó)際圓周率日”。

然而，我們都很清楚，圓周率是一個(gè)“無限不循環(huán)小數(shù)”，而且還是一個(gè)超越數(shù)。數(shù)學(xué)家之所以仍然對(duì)此繼續(xù)做相關(guān)研究，除了因?yàn)樗麄兊暮闷嫘幕蝾I(lǐng)先于人的心態(tài)在作怪，更重要的原因是，圓周率在生活中的巨大意義。因此，計(jì)算機(jī)時(shí)代的我們對(duì)于圓周率的關(guān)注，更傾向于它在生活中的應(yīng)用。