一、滾動(dòng)中的滑動(dòng)摩擦力

當(dāng)剛體在滾動(dòng)中有滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力的方向由“阻礙相對(duì)滑動(dòng)”的原則來(lái)確定。例如，設(shè)有一底面半徑為R的均勻圓柱體，質(zhì)心的平動(dòng)速度為vc，繞質(zhì)心滾動(dòng)的角速度為ω，如圖1所示。由剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)定理，則經(jīng)過(guò)時(shí)間dt后，圓柱體最低點(diǎn)將向前滑動(dòng)(vc-ωR)dt的距離。

①如果vc ωR，則(vc-ωR)dt 0，即圓柱體最低點(diǎn)有與vc方向相同的滑動(dòng)趨勢(shì)。由滑動(dòng)摩擦力f有“阻礙相對(duì)滑動(dòng)”的原則，則f方向與vc相反;

②如果vc ωR，則(vc-ωR)dt 0，即圓柱體最低點(diǎn)有與vc方向相反的滑動(dòng)趨勢(shì)，f方向與vc相同，如圖2所示;

③如果vc=ωR，則滿足純滾動(dòng)的條件，滑動(dòng)摩擦力為零，這時(shí)的摩擦力為滾動(dòng)摩擦力。

如果剛體繞質(zhì)心滾動(dòng)的角速度方向與上述相反，則f方向與vc始終相反。因?yàn)閳A柱體最低點(diǎn)向前滑動(dòng)的距離為(vc+ωR)dt，始終大于零，即始終有與vc方向相同的滑動(dòng)趨勢(shì)。

二、剛體做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的滾動(dòng)摩擦力

滾動(dòng)摩擦力方向的判斷稍顯復(fù)雜，總體原則是必須滿足純滾動(dòng)這一約束條件。具體來(lái)說(shuō)，可根據(jù)受力分析采用設(shè)想法進(jìn)行判斷。

為討論問(wèn)題的方便，我們這里把除摩擦力以外的所有力的合力用F，除摩擦力以外的力對(duì)質(zhì)心的合力矩用Mz表示，而摩擦力及摩擦力對(duì)質(zhì)心的力矩分別用f和Mf表示。先不考慮摩擦力，由剛體動(dòng)力學(xué)中的質(zhì)心平動(dòng)定理及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理，有

F=mdvc/dt   (1)

Mz=Izdω/dt  (2)

分析上面的方程，只存在四種可能，①F=0且Mz≠0;②F≠0且Mz=0;③F和Mz都不為零;④F和Mz都為零的情況。下面分別對(duì)這四種情況進(jìn)行討論。

1、當(dāng)F=0且Mz≠0時(shí)，設(shè)力矩的方向如圖3所示。

由(2)式，角速度有增加的趨勢(shì)，而由(1)式，質(zhì)心的平動(dòng)速度不會(huì)發(fā)生變化，則純滾動(dòng)的條件將被破壞，出現(xiàn)滑動(dòng)的趨勢(shì)。因此滾動(dòng)摩擦力將一方面要使質(zhì)心的平動(dòng)速度增加，一方面還要抑制轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增加過(guò)快，防止純滾動(dòng)的條件被打破。故滾動(dòng)摩擦力的方向只有與質(zhì)心的平動(dòng)速度方向相同，如該圖所示。自行車(chē)的后輪做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)就屬于這種情況，僅鏈條給后輪一力矩，F(xiàn)=0，Mz≠0，故后輪滾動(dòng)摩擦力的方向與自行車(chē)前進(jìn)的方向相同。

2、當(dāng)F≠0且Mz=0時(shí)，設(shè)力的方向如圖4所示。

與上述類似，由(1)式，質(zhì)心的平動(dòng)速度有增加的趨勢(shì)，而由(2)式，角速度不會(huì)發(fā)生變化，則純滾動(dòng)的條件將被破壞。因此滾動(dòng)摩擦力將一方面要使轉(zhuǎn)動(dòng)角速度增加，一方面還要抑制質(zhì)心的平動(dòng)速度增加過(guò)快，防止平衡被打破。故滾動(dòng)摩擦力的方向只有與質(zhì)心的平動(dòng)速度方向相反，如該圖所示。自行車(chē)前輪做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)就屬于這種情況，前輪僅受一推力的作用，F(xiàn)≠0，Mz=0，故前輪滾動(dòng)摩擦力的方向與自行車(chē)前進(jìn)的方向相反。

3、一般情形，當(dāng)F和Mz都不為零時(shí)。

對(duì)于這種情況，進(jìn)行純粹的定性分析得不出滾動(dòng)摩擦力的方向，必須進(jìn)行定量計(jì)算?？杉僭O(shè)f的方向與質(zhì)心的平動(dòng)速度vc方向相同(相反也行)，根據(jù)受力分析，列出動(dòng)力學(xué)方程，并應(yīng)用只滾不滑的條件，解出f的值。如果f 0，則與假設(shè)的方向一致，如果f 0，則與假設(shè)的方向相反。

例如：一質(zhì)量為m，半徑為R的均勻薄圓輪，在距圓心r處有一水平方向的拉力T，如圖5所示。設(shè)圓輪只滾不滑，試求滾動(dòng)摩擦力的大小和方向。

[解]設(shè)滾動(dòng)摩擦力f的方向如圖所示。由質(zhì)心平動(dòng)定理及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理，有

T+f=mα  (3)

Tr-fR=?mR2β  (4)

由純滾動(dòng)只滾不滑的條件，有

α=Rβ  (5)

聯(lián)立方程(3)、(4)及(5)式，消去α，β，解得

f=(2r-R)T/(3R)  (6)

對(duì)上式結(jié)果進(jìn)行討論。如果滾動(dòng)摩擦力f的方向與假設(shè)一致，即f 0，顯然須滿足R≥r R/2的條件，如果r

如果該剛體不是薄圓輪，而是其他形狀的剛體，則只需將(4)式中薄圓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?mR2替換為相應(yīng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將解的結(jié)果進(jìn)行同樣的討論。

可見(jiàn)，當(dāng)F和Mz都不為零時(shí)，滾動(dòng)摩擦力的方向與剛體的形狀和力的作用位置都有關(guān)系。必須進(jìn)行定量的計(jì)算方能得到正確的結(jié)論。

4、對(duì)于第四種情況，即F和Mz都為零時(shí)。

通過(guò)對(duì)方程(1)、(2)分析可知，純滾動(dòng)僅僅在某一時(shí)刻才存在，而其他時(shí)刻剛體都在做滾動(dòng)中有滑動(dòng)的運(yùn)動(dòng)，因此討論其滾動(dòng)摩擦力也就失去了意義，只需考慮其滑動(dòng)摩擦力。