“求自由落體的瞬時速度”教案

課堂教學是有目標、有計劃的活動，它需要教師在課前作出周密的策劃形成教學預案。教學預設就是教師在精研教材、全面了解學情的基礎上探討合適的教學策略并設計好課堂教學預案。沒有教學預設的課堂必定無法組織有效教學，更無法形成高效的生成。會造成學生對導數(shù)的認識就只剩下公式的計算，而對極限的數(shù)學思想缺少應有的體驗和認識，不利于學生對導數(shù)概念的深刻理解。本文就以學生的知識形成過程為核心談談...更多

一、自由落體速度猜測

伽利略認為，重物與輕物應該下落得同樣快。他猜想落體運動應該是一種最簡單的變速運動，物體的速度應該是均勻變化的。但是，速度的變化怎樣才算是均勻的呢?他考慮了兩種可能：一種是速度的變化對時間來說是均勻的，即v與t成正比;另一種是速度的變化對位移來說是均勻的，即v與x成正比。

數(shù)學推理

伽利略通過數(shù)學運算得出：如果v與x成正比，將會得到荒謬的結(jié)論;如果v與t成正比，它通過的位移x就與t2成正比。

實驗驗證

為了便于測量時間，伽利略設法用斜面做實驗。他在木制斜槽上蒙上羊皮紙，讓銅球從光滑的羊皮斜槽上滾下，通過上百次對不同質(zhì)量的小球沿不同傾角的光滑斜面越大的定量研究，發(fā)現(xiàn)小球沿光滑斜面運動時通過的位移x確實與t2成正比，小球的運動是勻變速直線運動，且傾角一定不同小球的加速度一定，傾角越大加速度越大。

合理外推

伽利略將他在斜面實驗中得出的結(jié)論做了合理的外推：設想斜面的傾角越接近90°，小球沿斜面滾下的運動就越接近于自由落體運動;當斜面的傾角達到90°時，小球就做自由落體運動。從而，自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動，且所有物體自由下落時的加速度都相同。

二、自由落體平均速度

平均速度

做變速運動的物體其位移與時間的比值不是恒定不變的，這時我們可以用一個速度粗略地描述物體在這段時間內(nèi)的運動的快慢情況，這個速度就叫做平均速度。

自由落體平均速度公式

自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動，它的平均速度計算方法有：

1、自由落體平均速度=中間時刻的瞬時速度

2、自由落體平均速度=(初速度+末速度)/2=末速度/2

3、自由落體平均速度=gt/2

三、自由落體瞬時速度

瞬時速度

瞬時速度表示物體在某一時刻或經(jīng)過某一位置時的速度，該時刻相鄰的無限短時間內(nèi)的位移與通過這段位移所用時間的比值 v=△x╱△t 。 瞬時速度是矢量，既有大小又有方向。瞬時速度是理想狀態(tài)下的量。

自由落體瞬時速度的探索

1、伽利略的困惑

①伽利略發(fā)現(xiàn)：小球在斜面上滾下的距離S和所用的時間t之間有函數(shù)關系S(t)=at2，這叫做小球的運動方程，這里，a是與斜面的坡度有關的常數(shù);

②伽利略的困惑：重力作用下在斜面上向下滾的小球，隨著時間的增加，速度越來越快。但是，他只知道計算在一個時間段里的平均速度，卻不知道如何計算小球在某一時刻的速度，即瞬時速度。

2、牛頓的思路

如果小球在斜面上向下滾動的運動方程是S(t)=3t2，要計算小球在開始運動2 s時的瞬時速度，不妨先看看它在2 s到2.1 s之間的平均速度，即在區(qū)間[2，2.1]上的平均速度，同理，可以計算[2，2.01]，[2，2.001]…和[1.99，2]，[1.999，2]，[1.999 9，2]……上的平均速度.仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，在時間間隔不斷的縮小的過程中，對應的平均速度無限地接近一個數(shù)值12。

3、結(jié)論

數(shù)學結(jié)論：時間段的長度趨于0時，這段時間內(nèi)的平均速度就以12 m/s為這個極限數(shù)值，就是小球開始運動后2 s時的瞬時速度。

方法小結(jié)：①先計算出時刻t和t+Δt之間小球運動的距離，在除以時間段的長度Δt，求出平均速度;②讓Δt趨向于0，得到小球在該時刻t的瞬時速度。

自由落體瞬時速度公式

平均速度公式v平均=Δs/Δt，則v平均={[?g(t+Δt)2]-?gt2}/[(t+Δt)-t] ，則v平均=gt+?gΔt。Δt越小算的平均速度越接近瞬時速度。那干脆讓Δt=0，則得到：

自由落體瞬時速度：v=gt